题目

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（1）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），证明{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

提问时间：2020-11-24

答案

（1）证明：由题设a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2），得
a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），
即b_n=qb_n-1，n≥2．
又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，
所以{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列．
（2）由（1）可得数列{b_n}的通项公式b_n=q^n-1，
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴a_n-a_n-1=q^n-2，
…
a₂-a₁=1，
把上述各式相加，得到a_n-a₁=q^n-2+q^n-3+…+q
∴a_n=

1+ 1−qn−1 1−q ，q≠1 n，q＝1

（1）先整理出所给的递推式，向要求的数列表现形式方向整理，结果发现要求数列的表达式，数列后一项与前一项之比是一个常数，所以数列是等比数列．
（2）由（1）所得的结论，写出数列的通项公式，仿写一系列式子，用叠加的方法得到通项的表示式，在表示式中出现等比数列的求和，一定要注意的是，公比与1的关系．

本题考点：等比关系的确定；数列的概念及简单表示法．

考点点评：凡是有关等比数列前n项Sn的问题，首先考虑q=1的情况，证明条件不等式时，正确适时地应用所给的条件是成败的关键．