题目

已知函数f（x）=sinx（x≥0）,g（x）=ax（x≥0）,其中a为实数.
1.若f（x）≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
2.当a=1时,求证：g（x）-f（x）≤（1/6）x³ （x≥0）.

提问时间：2020-11-24

答案

（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0）,
所以h'（x）=cosx-a．
若a≥1,h'（x）=cosx-a≤0,
所以h（x）=sinx-ax在区间（-∞,0]上单调递减,即h（x）≤h（0）=0,
所以sinx≤ax（x≥0）成立．
若a＜1,存在x0∈(0,π/2),使得cosx0=a,
所以x∈（0,x0）,h'（x）=cosx-a＞0,
所以h（x）=sinx-ax在区间（0,x0）上单调递增,
所以存在x使得h（x）＞h（0）=0,即此时f（x）≤g（x）不恒成立,
所以a＜1不符合题意舍去．
综上,a≥1．
（Ⅱ）由题意可得：a=1,所以g（x）=x（x≥0）,
所以（x）-g（x）=sinx-x（x≥0）,
所以原不等式等价于sinx-x-1/6x^3≤0（x≥0）,
设H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0),所以H′(x)=1-cosx-1/2x^2．
令G(x)=1-cosx-1/2x^2,所以G'（x）=sinx-x,
所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0）,
所以G(x)=1-cosx-1/2x^2在（0,+∞）上单调递减,
因此有：G(x)=1-cosx-1/2x^2≤G(0)=0,
即H′(x)=1-cosx-1/2x^2≤0,
所以H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0)单调递减,
所以H(x)=x-sinx-1/6x^3≤H(0)=0,
所以x-sinx-1/6x^3≤0（x≥0）恒成立,即x-sinx≤1/6x^3（x≥0）．