题目

数列{an}是首项为1的等差数列,数列{bn}是首项为1的等比数列,设Cn=anbn,且数列{Cn}的前三项为1,4 ,12
1求数列{an}{bn}的通项公式
2若等差数列{an}的公差d>0,他的前n项和为Sn,求数列{Sn/n}的前n项和Tn
3若等差数列{an}的公差d>0,求数列{Cn}的前n项的和

提问时间：2020-11-24

答案

设数列an的公差为d,数列bn的公比为q
1,数列{an}是首项为1的等差数列,则a1=1;数列{bn}是首项为1的等比数列,则b1=1,
Cn=an*bn,那么c1=a1*b1=1,c2=a2*b2=(a1+d)*a1*q=4;c3=a3*b3=(a1+2d)*a1*q^2=12
可求得d=1 q=2 或者 d=-1/3 q=6
所以 an=n bn=2^(n-1) 或者an=-1/3*(n-4) bn=6^(n-1) n∈（Z+）
2.若等差数列{an}的公差d>0,则an=n,Sn=1/2*n(n+1),那么Sn/n=1/2*(n+1)
由于Sn/n-S(n-1)/(n-1)=1/2 ,所以Sn/n是个等差数列
那么数列{Sn/n}的前n项和Tn=n（1+Sn/n）/2=n(n+3)/4,n∈（Z+）
3.若等差数列{an}的公差d>0,则an=n,bn=2^(n-1),Cn=n*2^(n-1),
数列{Cn}的前n项的和S‘n=1*1+2*2^1+…+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1),等式两边同乘以2,得
2S‘n=1*2^1+2*2^2+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n,两式错位相减得
S‘n-2S‘n=1*1+1*2^1+1*2^2+…+1*2^(n-1)-n*2^n=(1-n)*2^n-1
所以S‘n=(n-1)*2^n+1