题目

设N是满足下列条件的最小自然数：它们是75的倍数且有75个因数（包括1和本身）,求N.
小学使用的方法,

提问时间：2020-11-24

答案

75=3×5^2
显然N必含有质因数3、5,且质因数5的个数至少为2.
根据约数个数公式
75 = 3×5×5 = (2+1)×(4+1)×(4+1)
即知,N含有3个不同质因数,次数分别为2、4、4次.
因此N可表达为：
N = X^2 × Y^4 × Z^4
要使N最小,显然X = 5,Y、Z = 3、2
即N = 5^2×3^4×2^4 = 25*81*16 = 32400
因此
N / 75 = 5^(2-2)×3^(4-1)×2^4 = 3^3×2^4 = 432
补充一下,关于上面的约数个数公式,在链接：
zhidao.baidu.com/question/165459990.html
里有我比较详细的解释.