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题目
如图,二次函数y=2x2-2的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点c,直线x=a(a>1)与x轴交于点D,

(1)在直线x=a上有一点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与B、C、O(原点)为顶点的三角相似,求点P坐标(用含a的代数式表示)
(2)在(1)成立的条件下,试问抛物线y=2x2-2上是否存在一点Q,使四边形ABPQ为平行四边形?若存在这样的Q,请求出a的值,若不存在,请说明理由.

提问时间:2020-11-24

答案
(1)令y=0得2x2-2=0
解得x=±1,
点A为(-1,0),点B为(1,0),
令x=0,得y=-2,
所以点C为(0,-2),则CO=2,BO=1,
当△PDB∽△COB时,
PD
OC
=
BD
OB

∵BD=a-1,OC=2,OB=1,
PD
2
=
a−1
1

∴PD=2(a-1),
∴P1(a,2a-2).
当△PDB∽△BOC时,有
PD
OB
=
BD
OC

∵OB=1,BD=a-1,OC=2,
PD
1
=
a−1
2

PD=
a−1
2

∴P2(a,
a
2
-
1
2
).

(2)假设抛物线y=2x2-2上存在一点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形,
∴PQ=AB=2,点Q的横坐标为a-2.
当点P1为(a,2a-2)时,
点Q1的坐标是(a-2,2a-2),
∵点Q1在抛物线y=2x2-2图象上,
∴2a-2=2(a-2)2-2,
即a-1=a2-4a+4-1,
a2-5a+4=0,
解得:a1=1(舍去),a2=4.
当点P2为(a,
a
2
-
1
2
)时,
点Q2的坐标是(a-2,
a
2
-
1
2
),
∵Q2在抛物线y=2x2-2图象上,
a
2
-
1
2
=2(a-2)2-2,
即a-1=4(a-2)2-4
a-1=4a2-16a+16-4,
4a2-17a+13=0,
(a-1)(4a-13)=0,
∴a3=1(舍去),a4=
13
4

∴a的值为4、
13
4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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