题目

在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,角ABC=90度,角BCD=135度,沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D,求二面角B-AD-C的大小 要两种方法解题 要是3种 再加50分

提问时间：2020-11-24

答案

先明确原图特征：△ABC为等腰直角三角形,△ACD为直角三角形,且AC=√2a,AD=√3a
沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D,又CD⊥AC（两垂直平面的交线）,所以CD⊥平面ABC
方法一:
设AC中点E,连接BE,过E做AD垂线,垂足F,
由DC⊥平面ABC,得 DC垂直BE
又AB=BC,AE=CE,得 BE垂直AC
所以BE垂直平面ADC,所以 BE垂直AD
又EF垂直AD,所以AD垂直平面BEF,AD⊥BF
所以 ∠BFE就是所求角,
其中∠BEF=90°,BE=√2/2a,EF=√6/6a,
所以tan∠BFE=√3,∠BFE=60°
方法二：
在ABC平面内,过C做AC垂线,交AB延长线为G,（可在翻折前后图形中对比观察）
过C做AD垂线,垂足为H,连接GH.
可证∠GHC即所求角,（方法与上一种解法类似）
在RT△GCH中,GC=√2a,CH=√2a/√3,
所以tan∠GCH=GC/CH=√3,∠GHC=60°
方法三：
先按方法二过程做辅助线,再以CA,CG,CD方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,
用空间向量的方法求解,具体过程就不说了