题目

1的平方加2的平方加3的平方一直加到n的平方,和为多少

提问时间：2020-11-23

答案

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程.其实,该求和公式的直接推导并不复杂,也没有超出初中数学内容.
设：S=12+22+32+…+n2
另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2,此步设题是解题的关键,一般人不会这么去设想.有了此步设题,第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S,(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2,即
S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)
第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：
S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2,其中：
22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)
12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2
= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2
=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n
=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)
由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)
由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n
即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n2+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
S= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)
以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6,其中n为最后一位自然数.
由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3,其中2n为最后一位自然数.
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3,其中2n-1为最后一位自然数.