题目

已知圆心角为120°的扇形AOB半径为1,C为弧AB的中点,点D,E分别在半径OA,OB上,若CD^2+CE^2+DE^2=2,则OD+OE的
最大值是多少

提问时间：2020-11-23

答案

此题考查的是余弦定理和不等式变形
余弦定理：CD^2＝OD^2+CO^2- 2 OD*OC*cos60度＝OD^2- OD+1
CE^2＝OE^2+CO^2- 2 OE*OC*cos60度＝OE^2- OE+1
DE^2＝OE^2+DO^2- 2 OE*OD*cos120度＝OE^2+DO^2+ OE*OD
CD^2+CE^2+DE^2=2
OD^2- OD+1+OE^2- OE+1+OE^2+DO^2+ OE*OD＝2
2OD^2- OD+2OE^2- OE+ OE*OD＝0
1/2(OD+OE)^2+3/2(OD^2+OE^2)-OD-OE=0
由不等式a^2+b^2>=(a+b)^2 /2
得：OD^2+OE^2>=(OD+OE)^2 /2
所以0=1/2(OD+OE)^2+3/2(OD^2+OE^2)-OD-OE>=1/2(OD+OE)^2+3/4(OD+OE)^2－(OD+OE)
0>=1/2(OD+OE)^2+3/4(OD+OE)^2－(OD+OE)
0>=5/4(OD+OE)^2－(OD+OE)
得： 0 ＝< (OD+OE)＝< 4/5
OD+OE的最大值是4/5