题目

函数周期性问题（急!）
它们的周期怎么求
1.f(x+a)=正负1/f(x)且f(x)不等于0
2.f(x)=f(x-a)+f(x+a)

提问时间：2020-11-23

答案

1.f(x+a)=±1/f(x)且f(x)≠0
当f(x+a)= 1/f(x)时,
f(x+2a)=f[(x+a)+a]= 1/f(x+a),将f(x+a)= 1/f(x)代入分母得
f(x+2a)= f(x)
当f(x+a)= -1/f(x)时,
f(x+2a)=f[(x+a)+a]= -1/f(x+a),将f(x+a)= -1/f(x)代入分母得
f(x+2a)= f(x)
综上所述,f(x+2a)= f(x),所以函数f(x)的周期为2a
2.f(x)=f(x-a)+f(x+a)
由已知条件变形得
f(x+a)=f(x)-f(x-a),将x换成x+a得
f(x+2a)=f(x+a)- f(x) ………………①
将①式中的x换成x+a得
f(x+3a)=f(x+2a)-f(x+a) ………………②
①代入②得
f(x+3a)= f(x+a)- f(x)-f(x+a)= - f(x),即
f(x+3a)= - f(x)
从而
f(x+6a)= f[(x+3a)+3a]= - f(x+3a),将f(x+3a)= - f(x)代入得
f(x+6a)=f(x)
所以函数f(x)的周期为6a