题目

一半径为R的篮球放在一水平面上,它被一束平行光线投射到水平面上形成一个椭圆.
一半径为R的篮球放在一水平面上,它被一束平行光线投射到水平面上形成一个椭圆,已知该平行光束与水平面所成的角是θ,O是篮球的中心,F是篮球与水平面的接触点.（1）求该椭圆的离心率；（2）说明F是椭圆的一个焦点.

提问时间：2020-11-23

答案

设篮球最顶部恰好与光线相切的点为点E点且其在地面上的投影点为A点,篮球中心O在地面上的投影为B点
因为是平行光线,所以篮球中心的投影点也是椭圆的中心点,以垂直于投影的方向为Y轴,以B为中心建立个直角坐标系
所以篮球的宽度就是椭圆的宽度,即椭圆标准方程里的b=R
连接EA OA OF OE OB
知角EAF=θ 而OE=OF=R 所以根据角平分线上的点到角两边距离相等知道∠OAF=θ/2
△OAF是个直角三角形,所以AF=OF/tanθ/2=R/tanθ/2
光线是平行的,所以∠OBF=θ 所以BF=R/tanθ
而AF-BF就是椭圆标准方程里的a
a=R*(1/tanθ/2 - 1/tanθ)
椭圆的离心率e=c/a=(根号下a^2-b^2)/a (式子电脑上写很麻烦你就自己写吧~)
第二问：焦点公式：计算a^2-b^2=R^2{(1/tanθ/2 - 1/tanθ)^2-1}
用万能公式tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2} 把tanθ用tanθ/2 表示出来,然后化简 前面那些就变成（secθ）^2
而（secθ）^2-1=(tanθ)^2
所以：a^2-b^2=R^2*(tanθ)^2=BF^2
所以F点为椭圆右焦点
本想照个照片贴上去,可发现没数据线,所以就文字赘述了,你大概画个图应该就能清楚些,直角坐标系所处的平面和光线的照射方向是垂直的,不清楚的地方再HI我吧~