题目

设函数f（x）=ax²+bx+c （a≠0）中，a，b，c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数．求证：f（x）=0无整数根．

提问时间：2020-11-23

答案

证明：f（0）=c为奇数
f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数
所以a，b同奇偶
假设整数根t，所以f（t）=0 即at²+bt+c=0
若a，b同为偶数，则at²+bt为偶数，所以at²+bt+c为奇数可得at²+bt+c≠0
与at²+bt+c=0矛盾
若a，b同为奇数，
若t为偶数则at²+bt为偶数
若t为奇数则at²+bt为偶数
所以 at²+bt+c为奇数 可得at²+bt+c≠0与at²+bt+c=0矛盾
综上所述方程f（x）=0无整数根