题目

设函数f(x)定义域(0,+∞),且f(4)=1,对任意正实数x1x2,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x1≠x2时
有f(x2)-f(x1)/x2-x1>0(1)判断函数f(x)在（0,+∞）上的单调性（2）求f(1)的值（3）若f(x+6)+f(x)>2,求x的取值范围

提问时间：2020-11-23

答案

(1)因为f(x2)-f(x1)/x2-x1>0,所以分两类：a.分子分母都大于0.b.分子分母都小于0.然后运用单调性的定义,不管哪种情况,函数都是增函数.
（2）令x1=x2=1,代入f(x1x2)=f(x1)+f(x2),的f(1)=0.
(3) 根据f(x1x2)=f(x1)+f(x2),则f(x+6)+f(x)=f[(x+6)*x],又因为f(4)=1,所以f(4*4)=f(4)+f(4)=4,即由f(16)=2.所以不等式转换为：f[(x+6)*x]>f(16).因为函数是增函数,所以[(x+6)*x>16,解这个一元二次不等式,并注意x>0这个条件即可.最后结果为x>2.