题目

如图,在直角梯形OABC中,AB//OC,O为坐标图原点,点A在y周正半轴上,点C在x轴正

提问时间：2020-11-23

答案

题目不全
如图,直角梯形 OABC中, AB‖ OC, O为坐标原点,点A 在 y轴正半轴上,点C 在x 轴正半轴上,点 B坐标为（2,2倍的根号3 ）,∠BCO = 60°,OH垂直于BC 于点H .动点P 从点 H出发,沿线段HO 向点O 运动,动点 Q从点O 出发,沿线段OA 向点 A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点 运动的时间为 t秒.
（1）OH 求 的长；
（2）若三角形OPQ 的面积为 S（平方单位）. 求 S与 t之间的函数关系式.并求 t为何值时, 三角形OPQ的面积最大,最大值是多少?
（3）设 PQ与 OB交于点M .①当△ OPM为等腰三角形时,求（2）中 S的值.
②探究线段 OM长度的最大值是多少,直接写出结论.
（1）
在Rt△HCO中,由于∠OCH=60°,∠OCH的对边为2√3,
所以CB= （2√3）/sin60°=4,OC=2+2=4
所以：OH=∠OCH的对边=2√3
(2)
根据题意得：OQ=t,HP=t.
所以OP=OH-PH=(2√3)-t
所以：三角形OPQ的面积S=(1/2)*OQ*sin60°*OP
即：S=t(1/2)[(√3)/2][(2√3)-t]
S=[(-√3)/4]t^2+(3/2)t
由于-√3<0,所以S=[(-√3)/4]t^2+(3/2)t有最大值,
当t=-(3/2)/{2[(-√3)/4]}=√3时,S值最大为:(√3)/4
即：S与 t之间的函数关系式为S=[(-√3)/4]t^2+(3/2)t ,t为 t为值时√3时,三角形OPQ的面积最大,最大值是(3√3)/4
(3)
第一种情况：
过B点作BD垂直OC交直线OH于一点,过这点作OC的平行线,交OB于M点,交OA于Q点,交CB于N点.那么BD、OH的交点就是P点.△MOP是等腰三角形
（证明思路是：QP平行OD,OH平分角BOC,可得△MOP是等腰三角形.另外：PH=PD=OQ=t）
由P点是等边三角形OCB的重心得：HP=(1/3)OH=(2√3)*(1/3)=(2√3)/3
即：t=(2√3)/3
此时三角形OPQ的面积S=[(-√3)/4]t^2+(3/2)t
=｛[(-√3)/4]t^2+(3/2)｝*[(2√3)/3]=(2/3)√3
第二种情况：
作∠OBD的平分线交OH于P点,链接DP并延长交于BO于M点,交AO于Q点,则OM=OP
三角形MOP也是等腰三角形.P点是三角形ODB的内心.
可证明△BHP和△DOQ是全等的等腰直角三角形,从而有HP=OQ=t=2
可证明△OPD和△OMQ全等,从而有OM=OP
将t=2带入S=[(-√3)/4]t^2+(3/2)t中得：S=3-√3
我想就这两种情况了,使MP=PO是不存在的,因为此时OA与MP平行了.
至于OM的值：当点Q和点P分别在线段OA和线段OH的中点时,OM的值最大,最大值是3/2