题目

已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

提问时间：2020-11-23

答案

设点M（x，y）是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，那么点M属于集合P={M||MA|-|MB|=2}．
由距离公式

(x1-x2)2+(y1-y2)2

可知，点M适合的条件可表示为：

x2+(y-2)2

-y=2①
将①式移项后再两边平方，得x²+（y-2）²=（y+2）²，
化简得：y=

1

8

x2
因为曲线在x轴的上方，所以y＞0，虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是y=

1

8

x2（x≠0），它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图所示．

先设点M（x，y）是曲线上任意一点，欲求这条曲线的方程，只须求出x，y之间的关系即可，利用点M属于集合P={M||MA|-|MB|=2}．将此条件用坐标代入化简即得曲线的方程．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，本题利用直接法求解，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．