题目

若函数f（x）=

ax+1

x2+c

的值域为[-1，5]，求实数a、c．

提问时间：2020-11-23

答案

由y=f（x）=

ax+1

x2+c

，得x²y-ax+cy-1=0．
当y=0时，ax=-1，∴a≠0．
当y≠0时，∵x∈R，∴△=a²-4y（cy-1）≥0．
∴4cy²-4y-a²≤0．∵-1≤y≤5，
∴-1、5是方程4cy²-4y-a²=0的两根．
∴

1 c ＝4 − a2 4c ＝−5.

∴

a＝± 5 c＝ 1 4 .

故a=±

5

，c=

1

4

令y=

ax+1

x2+c

，将其变为x²y-ax+cy-1=0，此方程一定有根，当y=0时，满足方程有根，当当y≠0时，必有△≥0，由此得到关于y的不等式，再根据不等式的解集与对应方程的根的关系，知-1、5是方程4cy²-4y-a²=0的两根，故可得关于参数a，c的方程，解方程求值即可．

本题考点：函数的值域．

考点点评：本题是判别式法求值域的变形运用，其特点是变形得到关于函数值的不等式，再由不等式的解集端点与相应方程式根的关系建立参数方程求参数，判断别式法求值域是应用较少的一个技巧，运用时易忘掉二次项为0时的讨论，用此法作题时应注意．求f（x）=

a2x2+b2x+c2

a1x2+b1x+c1

（a₁²+a₂²≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用△≥0转化为关于函数值的不等式．求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论．