题目

已知函数f(x)=x^2-ax,g(x)=lnx
(I)设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈(1/2),试比较h(x1)-h(x2)与3/4-ln2的大小
（II）设r(x)=f(x)+g((1+ax)/2),对于任意a∈(1,2),总存在x0∈[1/2,1],使不等式r(x0)>k(1-a^2)成立,求k的范围

提问时间：2020-11-23

答案

2
∵r（x）=f（x）+g（（1+ax）/ 2 ）
∴r′(x)＝ a/(1+ax) +2x−a=2ax(x−(a^2−2)/2a ) 1+ax
(a^2−2)/2a ＝a/2 –1/a≤2/2-1/2＝1/2
∴r（x）在[ 1/2 ,+∞）上为增函数
∴r（x0）max=r（1）=1-a+ln[(1+a)/2]
所以1-a+ln[(1+a)/2]＞k（1-a^2）
设∅（a）=1-a+ ln[(1+a)/2]+k（a^2-1）,a∈（1,2）,∅（1）=1
有∅（a）＞0在a∈（1,2）恒成立,
∵∅′（x）= [a/(1+a)]（2ka-1+2k）．
k=0时,∵∅′(x)＝ −a/(1+a),∴∅（a）在a∈（1,2）递减,此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；
k＜0时,∵∅′(x)＝ [2ka/(1+a)](a−1/2k +1),∅（a）在a∈（1,2）递减,此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；
k＞0时,∵∅′(a)＝[2ka/(1+a)](a−1/2k +1),若 1/2k −1≥1,则∅（a）在区间（1,min{2,1/2k −1}）上递减,此时∅（a）＜∅（1）=0不符合；
综上得 k＞0 且1/2k −1≤1 ,解得k≥1/ 4 ,即实数k的取值范围为[ 1/4,+∞）．