题目

如图，四边形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，BC=2AD，DE⊥CD交AB边于E，连接CE．请找出DE、AE、CE之间的等量关系并加以证明．

提问时间：2020-11-23

答案

关系式DE²=AE•CE．
证明：延长BA、CD交于O，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴△ODA∽△OCB．
∴

OD

OC

＝

AD

BC

＝

1

2

（相似三角形对应边成比例）即OD=DC．
在△EDO与△EDC中，

OD＝DC ∠EDO＝∠EDC＝90° ED＝ED

，
∴△EDO≌△EDC（SAS）．
∴∠O=∠1．
又∵∠O+∠AED=∠ADE+∠AED=90°（互余），
∴∠O=∠ADE．
∴∠1=∠ADE．
∴Rt△DAE∽Rt△CDE，
∴

DE

CE

＝

AE

DE

（相似三角形对应边成比例）．
即DE²=AE•CE．

要求DE、AE、CE的关系，就需要得出三角形DAE和DEC相似，这两个三角形中已知的条件有一组直角，如果再证得一组对应角相等就能得出相似的结论，我们可通过构建全等三角形来实现．证明延长BA、CD交于O，AD、BC同时垂直AB，因此AD∥
BC，又根据BC=2AD，那么我们可得出OD=CD，又已知了ED⊥OC，一条公共边DE，那么三角形ECD和EOD全等，那么∠AED=∠CED，这样就构成了上面所说的三角形DAE和DEC相似的条件，那么两三角形相似，这样就得出了ED、AE、CE的比例关系．

本题考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；直角三角形全等的判定．

考点点评：本题主要考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定等知识点，本题中通过构建全等三角形来得出角相等是解题的关键．