题目

已知A，B，C为△ABC的三个内角；a，b，c分别为对边，向量

m

=（2cosC-1，-2），

n

=（cosC，cosC+1），若

m

⊥

n

，且a+b=10，则△ABC周长的最小值为（　　）
A. 10-5

3

B. 10+5

3

C. 10-2

3

D. 10+2

3

提问时间：2020-11-23

答案

∵

m

=（2cosC-1，-2），

n

=（cosC，cosC+1），

m

⊥

n

，
∴2cos²C-cosC-2cosC-2=0，
即2cos²C-3cosC-2=0，
∴cosC=-

1

2

，或cosC=2（舍）．
∵a+b=10，
∴ab≤(

a+b

2

)2＝25，
∴c²=a²+b²-2abcosC
=a²+b²+ab
=100-ab
≥100-25
=75．
∴c≥

75

＝5

3

．
∴△ABC周长的最小值为10+5

3

．
故选B．

由

m

=（2cosC-1，-2），

n

=（cosC，cosC+1），

m

⊥

n

，知2cos²C-3cosC-2=0，求出cosC=-

1

2

．再由a+b=10，得到a²+b²+2ab=100，ab≤(

a+b

2

)2＝25，然后由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab．由此能够求出△ABC周长的最小值．

本题考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；二倍角的余弦．

考点点评：本题以数量积为载体，巧妙地把三角函数、余弦定理、均值定理融合在一起，体现了出题者的智慧，是一道好题．