题目

不等式证明,
求证：a1/b1+a2/b2+...+an/bn>=(a1+a2+...+an)^2/a1b1+a2b2+...+anbn,在b1=b2=...=bn时成立

提问时间：2020-11-23

答案

这是柯西不等式的变形.
a1/b1+a2/b2+...+an/bn>=(a1+a2+...+an)^2/a1b1+a2b2+...+anbn
即:[(√a1/√b1)^2+(√a2/√b2)^2+…+(√an/√bn)^2]
×[(√a1×√b1)^2+(√a2×√b2)^2+…+(√an×√bn)^2]
≥(a1+a2+...+an)^2
当且仅当b1=b2=...=bn时等号成立
柯西不等式:
(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)
≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2
证明:柯西不等式的一般证法有以下几种：
■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
■②用向量来证.
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)乘以cosX．
因为cosX小于等于1,所以：a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法．