题目

3道高一的不等式的运用
1.已知X,Y∈R+,且X+Y=1,求当X,Y分别取何值时,1/X+1/Y的值最小
2.已知X>-1,求当X取何值时,X+4/(X+1)的值最小
3.已知a+b=1,求证:a²+b²≥1/2

提问时间：2020-11-23

答案

1.1=x+y
1/X+1/Y=(x+y)/x+(x+y)/y=1+y/x+1+x/y=2+x/y+y/x>=2+2√（x/y*y/x)=4
当x/y=y/x时,即x^2=y^2
因为X,Y∈R+,且X+Y=1
所以x=y=1/2,1/X+1/Y的值最小=4
2.X+4/(X+1)=(x+1)+4/(x+1)-1>=2√[(x+1)*4/(x+1)]-1=3
当且仅当x+1=4/(x+1),即x=-3(舍去）或1时X+4/(X+1)的值最小=3
3.1=a+b>=2√ab (a>0,b>0)
所以ab=1-2*1/4=1/2
则a^2+b^2>=1/2