题目

数列题,求和
（1） （a-1）+(a^2-2)+……+(a^n-n)
(2) 1+2x+3x^2+……nx^(n-1)
请写出具体步骤

提问时间：2020-11-23

答案

(1)
（a-1）+(a^2-2)+……+(a^n-n)
=(a+a^2+…+a^n)-(1+2+…+n)
1+2+…+n=n(n+1)/2
如果a=1,则a+a^2+…+a^n=n
那么原式=n-n(n+1)/2=n(1-n)/2
如果a ≠ 1,则a+a^2+…+a^n=a*(1-a^n)/(1-a)
那么原式=a*(1-a^n)/(1-a)-n(n+1)/2
(2)
令S=1+2x+3x^2+…+nx^(n-1) ①
当x=1时,S=1+2x+3x^2+…+nx^(n-1）
=1+2+3+…+n
=n(1+n)/2
如果x≠ 1时
xS=x+2x^2+3x^3+…+(n-1)x^(n-1)+nx^n ②
①-②得 (1-x)S=1+x+x^2+…+x^(n-1)-nx^n
=(1-x^n)/(1-x)-nx^n
则S=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x)