题目

圆x2+y2=1内有一点A(1/2,0),圆上有两点P、Q,若向量PA⊥向量AQ,那么过点P和点Q的两条切线的交点M的轨迹方程为

提问时间：2020-11-23

答案

设M(m,n),直线kx+y-km-n=0①切圆O：x^2+y^2=1于P(或Q),
∴|km+n|/√（k^2+1)=1,
平方得k^2*m^2+2kmn+n^2=k^2+1,
(m^2-1)k^2+2mnk+n^2-1=0,
∴k1+k2=-2mn/(m^2-1),k1k2=(n^2-1)/(m^2-1).②
OP(或OQ):x=ky,③
由①、③解得P(或Q)的坐标：x=k(km+n)/(k^2+1),y=(km+n)/(k^2+1).
由PA⊥AQ得
[k1(k1m+n)/(k1^2+1)-1/2][k2(k2m+n)/(k2^2+1)-1/2]+(k1m+n)(k2m+n)/[(k1^2+1)(k2^2+1)]=0
去分母得
[（2m-1)k1^2+2nk1-1][(2m-1)k2^2+2nk2-1]+4[m^2*k1k2+mn(k1+k2)+n^2]=0,
展开得(2m-1)^2*(k1k2)^2+2n(2m-1)k1k2(k1+k2)+(1-2m)(k1+k2)^2-2(1-2m)k1k2+4n^2*k1k2-2n(k1+k2)+1+4[m^2*k1k2+mn(k1+k2)+n^2]=0,
整理得(2m-1)^2*(k1k2)^2+2n(2m-1)k1k2(k1+k2)+(1-2m)(k1+k2)^2+(4m^2+4n^2+4m-2)k1k2+（4mn-2n)(k1+k2)+4n^2+1=0,④
把②代入④*（m^2-1)^2,得
（2m-1)^2*(n^2-1)^2-4mn^2*(2m-1)(n^2-1)+4m^2*n^2*(1-2m)+(4m^2+4n^2+4m-2)(m^2-1)(n^2-1)-2mn(4mn-2n)(m^2-1)+(4n^2+1)(m^2-1)^2=0,
这就是M的轨迹方程（恕不化简）.