题目

如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是∠DAM的平分线与CD的交点，试说明：AM=DN+BM．

提问时间：2020-11-23

答案

证明：延长CB至E，使得BE=DN，
∵AB∥CD，则∠BAN=∠1，
在△ADN和△ABE中，

AD＝AB ∠ADN＝∠ABE DN＝BE

，
∴△ADN≌△ABE，
∴∠2=∠5，
∵∠MAE=∠3+∠2，∠BAN=∠3+∠4，∠4=∠5，∠1=∠E，
∴∠MAE=∠BAN，
∴∠DNA=∠MAE=∠E
即AM=ME，
∵ME=EB+BM
∴AM=EB+BM=DN+BM．

求证△ADN≌△ABE，得∠BAE=∠DAN，根据∠BAE=∠DAN，求证∠MAE=∠E，得AM=ME，根据ME=BM+BE，且BE=DN可以证明AM=DN+BM．

本题考点：正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理．

考点点评：本题考查了正方形各边相等，各内角为直角的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，考查了角平分线的性质，本题中求证AM=ME是解题的关键．