题目

若焦点在X轴上的椭圆X^/45+Y^/b^=1上有一点,使他和两个焦点的连线相互垂直,求b的取值范围

提问时间：2020-11-23

答案

因为焦点在x轴上,所以：b^2<45
即：-3√5设椭圆的交点为F1、F2,则：F1、F2的坐标为：
F1(-√(45-b^2),0)、F2(√(45-b^2),0)
设椭圆上一点A(3√5cosθ,bsinθ),那么：
直线AF1的斜率Kaf1=(bsinθ-0)/[3√5cosθ+√(45-b^2)]
直线AF2的斜率Kaf2=(bsinθ-0)/[3√5cosθ-√(45-b^2)]
已知AF1与AF2互相垂直,所以：Kaf1*Kaf2=-1
则：(b^2sin^2<θ>)/[45cos^2<θ>-(45-b^2)]=-1
===> (b^2sin^2<θ>)/[b^2-45sin^2<θ>]=-1
===> b^2sin^2<θ>=45sin^2<θ>-b^2
===> b^2(1+sin^2<θ>)=45sin^2<θ>
===> b^2=(45sin^2<θ>)/(1+sin^2<θ>)
因为0≤sin^2<θ>≤1,所以：
0≤b^2≤45/2
所以：-3√10/2≤b≤3√10/2（b≠0）……………………（2）
联立(1)(2)得到：
-3√10/2≤b≤3√10/2（b≠0）