题目

已知a、b、c是一直角三角形的三边,c是斜边,且均为正整数,a为质数；求证明
已知a、b、c是一直角三角形的三边,c是斜边,且均为正整数,a为质数；证明
（1）b与c两数必为一奇一偶,且a不可能是2；
（2）2（a+b+1）是完全平方数.

提问时间：2020-11-22

答案

(1)
证：
由题意得
a^2+b^2=c^2
a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
c+b,c-b均为整数.
a为质数,因子只有1和a,a^2的因子只有1,a,a^2,且a^2>a,
c+b,c-b的可能取值只能为
c+b=a^2
c-b=1
c=(a^2+1)/2 b=(a^2-1)/2
c-b=1,b,c为两连续的自然数,必为一奇一偶.
c,b为整数,a^2应为奇数,a为奇数,不可能是2.
（2）
由(1)得
a^2+b^2=(b+1)^2
解得2b=a^2-1
代入2(a+b+1)
2(a+b+1)
=2a+a^2-1+2
=a^2+2a+1
=(a+1)^2
为完全平方数.