题目

为什么奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数就能被11整除

提问时间：2020-11-22

答案

设这个数为y=x1x2……xn(上面有一划)
则y=10^(n-1)x1+10^(n-2)x2+……+xn
若n为偶数
y=(10^(n-1)+1)x1+(10^(n-3)+1)x3+……+(10+1)x(n-1)-(x1+x3+……+x(n-1))
+(10^(n-2)-1)x2+(10^(n-4)-1)x4+……+(10^2-1)x(n-2)+(x2+x4+……+xn)
下面有条定理
若k为偶数,则x+1整除x^(2k+1)+1,x+1整除x^(2k)-1
【简单证明一下：
x^(2k+1)+1=(x+1)(x^(2k)-x^(2k-1)+x^(2k-2)-……-x+1) (这个乘开来算一下,易知是对的)
设x^(2k)-1=(x^p+1)(x^q-1)
若p是奇数,则证毕(刚证过x+1整除x^p+1)
若p是偶数,因为pq=2k,所以q是偶数,再讲x^q-1因式分解,
经过有限步必能找到因子x^(qn)+1(qn是奇数),则证毕】
现在取x=10,那么11整除(10^(n-1)+1)x1,(10^(n-3)+1)x3,……,(10+1)x(n-1)
11也整除(10^(n-2)-1)x2,(10^(n-4)-1)x4,……,(10^2-1)x(n-2)
则只要11整除-(x1+x3+……+x(n-1))+(x2+x4+……+xn),y就能被11整除
即奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数就能被11整除
若n为奇数,道理也是一样的