题目

已知圆X2+Y2=5 椭圆：2x2+3y2=6,过圆上任意一点P做椭圆的两条切线,若其斜率都存在,求其斜率之积是定值

提问时间：2020-11-22

答案

设圆上任意点为P(m,n),则有 m^2+n^2=5
设过P点的直线斜率为k,则有 y=k(x-m)+n
代入椭圆得 2x^2+3[k(x-m)+n]^2=6,
整理得
(2+3k^2)x^2-6k(km-n)x+3[(km-n)^2-2]=0
过椭圆外一点可做两条椭圆的切线,设其斜率分别为k1,k2
则当k取定值时,直线与椭圆只有一个交点
即有 △=[6k(km-n)]^2-4*3(2+3k^2)[(km-n)^2-2]=0
整理化简可得 (m^2-3)k^2-2mnk+n^2-2=0
那么,k1,k2即为上述方程的两个解
∴由韦达定理有 k1k2=(n^2-2)/(m^2-3)
由m^2+n^2=5经适当变形可得n^2-2=3-m^2=-(m^2-3)
即有 (n^2-2)/(m^2-3)=-1
∴有 k1k2=-1,即两切线斜率乘积为-1