题目

给定两个命题，P：关于x的方程x²-x+a=0有实数根； Q：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0（a≠0）恒成立；如果P且Q是假命题、P或Q是真命题，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-11-22

答案

关于x的方程x²-x+a=0有实数根⇔1−4a≥0⇔a≤

1

4

；…（2分）
对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立⇔a＝0或

a＞0 △＜0

⇔0≤a＜4…（5分）
如果P正确，且Q不正确，有0≤a＜4，且a＞

1

4

∴

1

4

＜a＜4；…（8分）
如果Q正确，且P不正确，有a＜0或a≥4，且a≤

1

4

∴a＜0．…（11分）
所以实数a的取值范围为(−∞，0)∪(

1

4

，4)…（12分）

先分别求出p，q为真命题时a的范围，再利用真值表进行解决

本题考点：复合命题的真假．

考点点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用