题目

求1到300的整数中 能被3或5或7整除的数的个数

提问时间：2020-11-21

答案

首先先说一下容斥原理：
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
此处,可将
A表示为能被3整除的数,也就是3的倍数；
B表示为能被5整除的数,也就是5的倍数；
C表示为能被7整除的数,也就是7的倍数；
A∩B表示为能同时被3、5整除的数,也就是15的倍数；
A∩C表示为能同时被3、7整除的数,也就是21的倍数；
B∩C表示为能同时被5、7整除的数,也就是35的倍数；
A∩B∩C表示为能同时被3、5、7整除的数,也就是105的倍数；
于是A∪B∪C表示能被3或5或7整除的数.
你的问题中,300描述不清楚,包含300吗?
下面我就将300包含进去.
下面说一下高斯取整符号[],[x]表示不超过x的最大整数.
容易计算得知,
A=[300÷3]=100个
B=[300÷5]=60个
C=[300÷7]=42个
A∩B=[300÷15]=20个
A∩C=[300÷21]=14个
B∩C=[300÷35]=8个
A∩B∩C=[300÷105]=2个
于是,
A∪B∪C
=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
=100+60+42-20-14-8+2
=162个.
也就是说,假若从1到300,包含300的话,
被3或5或7整除的数有162个.
不包含300的话,
被3或5或7整除的数有161个.（舍去300这个数）
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