题目
四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=
,AB=AC.
(I)取CD的中点为F,AE的中点为G,证明:FG∥面ABC;
(II)证明:AD⊥CE.
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(I)取CD的中点为F,AE的中点为G,证明:FG∥面ABC;
(II)证明:AD⊥CE.
提问时间:2020-11-21
答案
(I)证明:取AB中点H,连接GH,CH
因为G是AE中点,所以HG∥=
BE,又因为矩形BCDE,所以BE∥=CD,且F是CD中点,
所以HG∥=CF,所以四边形FGHC是平行四边形,所以FG∥CH,
又因为FG⊄平面ABC,CH⊂平面ABC,所以FG∥面ABC;
(II)取BC中点Q,连接AQ,DQ
因为AC=AB,所以AQ⊥BC,
因为侧面ABC⊥底面BCDE,AQ⊂平面ABC,平面ABC∩平面BCDE=BC,
所以AQ⊥平面BCDE,
因为CE⊂平面BCD,所以CE⊥AQ
又在矩形BCDE中,BC=2,CD=
,BE=
,CQ=1,所以
=
=
所以Rt△CDQ∽Rt△BCE,所以∠DQC=∠CEB,
所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°,所以CE⊥DQ
因为AQ∩DQ=Q,且AQ,DQ⊂平面ADQ,所以CE⊥平面ADQ,
AD⊂平面ADQ,所以AD⊥CE
因为G是AE中点,所以HG∥=
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所以HG∥=CF,所以四边形FGHC是平行四边形,所以FG∥CH,
又因为FG⊄平面ABC,CH⊂平面ABC,所以FG∥面ABC;
(II)取BC中点Q,连接AQ,DQ
因为AC=AB,所以AQ⊥BC,
因为侧面ABC⊥底面BCDE,AQ⊂平面ABC,平面ABC∩平面BCDE=BC,
所以AQ⊥平面BCDE,
因为CE⊂平面BCD,所以CE⊥AQ
又在矩形BCDE中,BC=2,CD=
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BC |
CD |
BE |
CQ |
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所以Rt△CDQ∽Rt△BCE,所以∠DQC=∠CEB,
所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°,所以CE⊥DQ
因为AQ∩DQ=Q,且AQ,DQ⊂平面ADQ,所以CE⊥平面ADQ,
AD⊂平面ADQ,所以AD⊥CE
(I)取AB中点H,连接GH,CH,根据G是AE中点,根据中位线的性质可知HG∥=
BE,利用矩形BCDE可知BE∥=CD,同时F是CD中点,
进而可以推断出HG∥=CF,四个边两两平行,进而可推断出四边形FGHC是平行四边形,进而可知FG∥CH,最后利用线面平行定理推断出FG∥面ABC;
(II)取BC中点Q,连接AQ,DQ根据AC=AB,判断出AQ⊥BC,进而根据线面垂直的判定定理推断出AQ⊥平面BCDE,进而可知CE⊥AQ,根据,BC=2,CD=
,求得BE和CQ,得出
=
判断出Rt△CDQ∽Rt△BCE,进而可推断出∠DQC=∠CEB,可知∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°,推断出CE⊥BQ利用AQ∩BQ=Q,推断出CE⊥平面ADQ,进而根据线面垂直的性质可知AD⊥CE.
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进而可以推断出HG∥=CF,四个边两两平行,进而可推断出四边形FGHC是平行四边形,进而可知FG∥CH,最后利用线面平行定理推断出FG∥面ABC;
(II)取BC中点Q,连接AQ,DQ根据AC=AB,判断出AQ⊥BC,进而根据线面垂直的判定定理推断出AQ⊥平面BCDE,进而可知CE⊥AQ,根据,BC=2,CD=
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BC |
CD |
BE |
CQ |
直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的性质.
本题主要考查了直线与平面的平行和垂直的判定,解题的关键是灵活运用线面平行和线面垂直判定定理.
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