题目

如图，已知等边△ABC中，D是BC上一点，△DEB为等边三角形，连接CE并延长交AB的延长线于点M，连接AD并延长与BE的延长线交于点N，再连接MN．
求证：△BMN是等边三角形．

提问时间：2020-11-21

答案

证明：∵△ABC和△DEB为等边三角形，
∴BC=AB，∠ABC=∠DBE=60°，DB=EB，
在△ADB与△CBE中，
∵

BC＝AB ∠ABC＝∠DBE＝60° DB＝EB

，
∴△ADB≌△CBE（SAS），
∴∠BAD=∠BCE，
又∵∠ABN=∠ABC+∠CBN=120°，∠CBM=180°-∠ABC=120°，即∠ABN=∠CBM，
在△ABN和△CBM中，
∵

∠BAN＝∠BCE AB＝CB ∠ABN＝∠CBM

，
∴△ABN≌△CBM（ASA），
∴BN=BM．
又∵∠NBM=180°-∠ABC-∠DBE=60°，
∴△BMN是等边三角形．

首先根据等边三角形的性质得出BC=AB，∠ABC=∠DBE=60°，DB=EB，由SAS证出△ADB≌△CBE，于是∠BAD=∠BCE；
然后根据平角定义易知∠ABN=∠CBM=120°，结合AC=BC，利用ASA可证△ABN≌△CBM，从而有BM=BN．

本题考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ADB≌△CBE和△ABN≌△CBM．