题目

1/3+2/3=1,1/3=0.333·· 2/3=0.666·· 0.3·+0.6``=0.9````` 这是为什么呢?

提问时间：2020-11-21

答案

因为0.999...=1
在完备的实数系中,循环小数0.999…,表示一个等于1的实数.也就是说,“0.999…”所表示的数与“1”相同.长期以来,该等式被专业数学家所接受,并在教科书中讲授.目前这个等式已经有各种各样的证明,它们各有不同的严谨性、背景假设都蕴含实数的阿基米德性质、历史文脉、以及目标受众.
在1846年的美国教科书《大学算术》（《The University Arithmetic》）中有这么一句：“0.999+,到无穷远处等于1,这是因为每加上一个9,都会使它的值更加接近于1”（.999 +,continued to infinity = 1,because every annexation of a 9 brings the value closer to 1）
证明
1.减法
1.00000…
- 0.99999…
0.00000…
结果为0.000…,也就是后面的0无限循环.这两个数目在这里是无限循环小数,小数点后五位之后还会一直填上0,始终无法找到最后一位来填上1.1.000… - 0.999… = 0.000… = 0,故1 = 0.999….
2.代数 分数
无限小数是有限小数的一个必要的延伸,其中一个原因是用来表示分数.用长除法,一个像1⁄3的简单整数除法便变成了一个循环小数,0.333…,其中有无穷多个数字3.利用这个小数,很快就能得到一个0.999… = 1的证明.用3乘以0.333…中的每一个3,便得到9,所以3 × 0.333…等于0.999….而3 × 1⁄3等于1,所以0.999… = 1
这个证明的另外一种形式,是用1/9 = 0.111…乘以9.
0.333.=1/3
3×0.333...=3×1/3
0.999...=1
1=9/9=9×1/9=9×0.111...=0.999...
由于两个方程都是正确的,因此根据相等关系的传递性质,0.999…一定等于1.类似地,3/3 = 1,且3/3 = 0.999….所以,0.999…一定等于1.
3.一个特别的除法竖式
用竖式计算可得8.999…÷ 9=0.999…
设n=0.999…
则8+n/9=n
解此一元一次方程得n=1
所以0.999…=n=1
4.位数操作
另外一种证明更加适用于其它循环小数.当一个小数乘以10时,其数字不变,但小数点向右移了一位.因此10 × 0.999…等于9.999…,它比原来的数大9.
考虑从9.999…减去0.999….我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位,结果都是9 - 9,也就是0.但末尾的零并不能改变一个数,所以相差精确地是9.最后一个步骤用到了代数.设0.999… = c,则10c − c = 9,也就是9c = 9.等式两端除以9,便得证：c = 1.[1]用一系列方程来表示,就是
c=0.999...
10c=9.999...
10c-c=9.999...-0.999...
9c=9
c=1
0.999...=1
以上两个证明中的位数操作的正确性,并不需要盲目相信,也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的.这个关系,可以用几个等价的方法来表示,已经规定了0.999…和1.000…都表示相同的数.
4.数列
如果 | r | < 1,则ar+ar^2+ar^3+…=ar/1-ar
由于0.999…是公比为r=的等比级数的和,应用以上定理,很快就可以得出证明了：
0.999...=9(1/10)+9(1/10)^2(1/10)^3+…=9(1/10)/1-(1/10)=1
5.
对于数列（x0,x1,x2,…）来说,如果当n增大时,距离|x − xn|变得任意地小,那么这个数列就具有极限x.0.999… = 1的表述,可以用极限的概念来阐释和证明：
n
0.999...=lim 0.99...9=lim ∑ 9/10^k=lim(1-1/10^n)=1-lim 1/10^n=1
n→∞ 个/ n→∞ k=1 n→∞ n→∞
P.S.“如果你从无限中移走或添加一部分,剩下的还是无限.”