题目

周期函数的运算问题
设两个函数f(x)与g(x)的最小正周期分别为T1与T2,且T1与T2有整数倍公倍数,问f(x)+g(x)、f(x)g(x)是否也是周期函数,若是的话,它们的最小正周期是多少?麻烦给出详细的证明.
答得好的再加分

提问时间：2020-11-21

答案

设两个函数f(x)与g(x)的最小正周期分别为T1与T2,且T1与T2有整数倍公倍数,问f(x)+g(x)、f(x)g(x)是否也是周期函数,若是的话,它们的最小正周期是多少?麻烦给出详细的证明.
f(x+T1)=f(x);
g(x+T2)=g(x);
所以:
f(x+n T1)=f(x);
g(x+n T2)=g(x);
如果存在T3 = K1 T1 = K2 T2; K1,K2均为整数,
则,
f(x+T3)=f(x);
g(x+T3)=g(x);
所以
f(x+T3)+g(x+T3)=f(x)g(x),
f(x+T3)g(x+T3)=f(x)g(x),
所以T3是f(x)+g(x)、f(x)g(x)的周期.
最小周期很难说,情况比较多.
答得好的再加分