题目

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA₁=

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，D 是A₁B₁中点．

（1）求证C₁D⊥平面AA₁B₁B；
（2）当点F在BB₁上什么位置时，会使得AB₁⊥平面C₁DF？并证明你的结论．

提问时间：2020-11-21

答案

（1）证明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°．又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B．（2）作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1...

（1）欲证C₁D⊥平面AA₁B₁B，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证C₁D与平面AA₁B₁B内两相交直线垂直，而ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
则∠A₁C₁B₁=90°，从而C₁D⊥A₁B₁，AA₁⊥C₁D，满足定理所需条件；
（2）作DE⊥AB₁交AB₁于E，延长DE交BB₁于F，连接C₁F，则AB₁⊥平面C₁DF，点FB₁B的中点即为所求，根据C₁D⊥平面AA₁BB，AB₁⊂平面AA₁B₁B，则C₁D⊥AB₁，AB₁⊥DF，DF∩C₁D=D，满足线面垂直的判定定理，则AB₁⊥平面C₁DF．

本题考点：平面与平面垂直的判定．

考点点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定．应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理，属于中档题．