题目

设f(x)=x^2+bx+c,方程f(x)-x=0的两个实根为x1,x2,则满足x1>0,x2-x1>1.
(1)求证：b^2>2(b+2c)
(2)设0

提问时间：2020-11-21

答案

（1）构建函数g(x)=f(x)-x=x^2+(b-1)x+c,
x2-x1>1,根据韦达定理,（x1+x2）^2-4x1x2>1,所以(b-1)^2-4c>1,化简即得到答案（1）
（2）由于x^2+(b-1)x+c=0的对称轴为x=(1-b)/2
又x1^2+(b-1)x1+c=0,x1>0,x2与x1的距离大于1
故x1必在对称轴的左边,且与对称轴的距离大于1/2,即
(1-b)/2-x1>1/2
得到x1f(x1)=x1
(3)f(1)=1+b+c,f(0)=c,所以1+b=f(1)-f(0),即|1+b|=|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤1+1=2