题目

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立，且当x＞0时，有f（x）＞0，试判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并证明你的结论．

提问时间：2020-11-21

答案

∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．
令x₁=-x，x₂=x，则f（-x+x）=f（-x）+f（x）=f（0）=0，
可得f（-x）=-f（x），所以f（x）为R上的奇函数．
设R上任意的x₁、x₂满足x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0，∴f（x₂-x₁）＞0
由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
得f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）为R上的增函数．