题目

已知|p|=2

2

，|q|=3，向量p与q的夹角为

π

4

，求以向量a=5p+2q，b=p-3q为邻边的平行四边形两条对角线之长．

提问时间：2020-11-21

答案

以a、b为邻边平行四边行的两对角线之长可分别记为|a+b|，|a-b|
∵a+b=（5p+2q）+（p-3q）=6p-q．a-b=（5p+2q）-（p-3q）=4p+5q．…（4分）
∴|a+b|=|6p-q|=

|6p-q| 2

=

36p2-12pq+q2

=

36×(2 2 )2-12×2 2 ×3cos π 4 +32

=15．…（8分）
|a-b|=|4p+5q|=

16p2+40pq+25q2

=

16×8+40×2 2 ×3cos π 4 +25×9

=

593

…（12分）

以

a

，

b

为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线分别为

a

+

b

，

a

-

b

，分别求出他们的模，然后进行比较，即可得到结论．

本题考点：向量在几何中的应用；向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的运算．

考点点评：此题是个中档题．本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、向量的数量积的定义式以及向量的模计算公式．体现了数形结合的思想，同时也考查了学生应用知识分析解决问题的能力．