题目

过双曲线y2-3x2=3的上支上一点P作双曲线的切线交两条渐近线分别于点A,B.
(1)求证：OA(向量)•OB(向量)为定值；
(2)若OB(向量)=AM(向量),求动点M的轨迹方程.

提问时间：2020-11-20

答案

1、设点A坐标为(x1,y1),B坐标为(x2,y2),P坐标为(x0,y0),M坐标为(xm,ym)
y>0
所以y=(3x^2+3)^0.5
y'=(3^0.5)x/[(x^2+1)^0.5]
所以切线方程为y-y0=(3^0.5)x0/[(x0^2+1)^0.5]*(x-x0)…………(1)
渐近线方程为y=3^0.5x…………(2)和y=-3^0.5x…………(3)
(1)与(2)、(3)分别联立解出
x1=(x0^2+1)^0.5+x0,y1=(3x0^2+3)^0.5+3^0.5x0
x2=-(x0^2+1)^0.5+x0,y2=(3x0^2+3)^0.5-3^0.5x0
OA(向量)•OB(向量)=x1x2+y1y2=2
2、OM(向量)=(x1+x2,y1+y2)
即xm=2x0,ym=2(3x0^2+3)^0.5
将xm=2x0代入ym中,得
ym^2/12-xm^2/4=1(y>0)
所以M的轨迹方程为y^2/12-x^2/4=1(y>0)
（根号我不会打,用0.5次方代替了,因此式子可能有些长,看着比较费劲,不好意思了.有不明白的只管说.）