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题目
二阶微分方程
验证y1=cos(wx)及y2=sin(wx)都是微分方程y' + w^2y = 0的解,并写出该方程的通解.

提问时间:2020-11-20

答案
将y1=cos(wx)代入有;
dy1=-wsin(wx)
d^2y1=-w^2cos(wx)
所以
y'+w^2y
=-w^2cos(wx)+w^2cos(wx)
=0
所以是方程解
将y2=sin(wx)代入
dy2=wcos(wx)
d^2y2=-w^2sin(wx)
所以
y'+w^2y
=-w^2sin(wx)+w^2sin(wx)
=0
所以也是方程的解
很容易知道函数y1和函数y2是线性无关的,可由朗斯基行列式得到:
所以方程的通解是;
y=C1cos(wx)+C2sin(wx)
(C1,C2是常数)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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