题目

抛物线y=ax²+bx+c（a>0）与y轴相交于c 直线l1经过c且平行于x轴 将l1向上平移t个单位得到l2
如图,抛物线y=ax²+bx=c(a>0)与y轴交与点C,直线L,经过点C且平行与x轴,将L1向上平移t个单位得到直线L2,L1与抛物线的交点为C、D,L2与抛物线的交点为A、B,连接AC、BC.
(1)a=1/2,b=-3/2,c=1,t=2时,判断ΔABC的形状,并说明理由;
(2)若ΔABC为直角三角形,使用含a的代数表示t;
(3)在(2)的条件下,若点A关于y轴的对称点A' 恰好在抛物线的对称轴上,连接A'C、BD,试用含a的代数式

提问时间：2020-11-20

答案

1.）∵ a=1/2,b=-3/2,c=1,t=2
∴在直线L2处 y = 3
y = x²/2 -3x/2 + 1 =3
x² - 3x -4 = 0
(x-4)(x+1) = 0
A(-1,3),B(4,3)
AC=√（1²+2²)=√5,BC=√(4²+2²)=2√5,AB=5,
∴AC²+BC²=AB²=25,ΔABC为直角三角形.
2）,设AB的横坐标为X1、X2,由Y=t+C=ax²+bx+C,得ax²+bx-t=0,
X1+X2=-b/a,X1X2=-t/a,AB²=(X1-X2)²=(X1+X2)²-4X1X2=b²/a²+4t/a,AC²+BC²=X1²+t²+X2²+t²==（X1+X2)²-2X1X2+2t²=b²/a²+2t/a+2t²,因为ΔABC为直角三角形,所以AC²+BC²=AB²,即b²/a²+2t/a+2t²=b²/a²+4t/a,所以2t²-2t/a=0,所以t=1/a.
3）,抛物线的对称轴:x = -b/(2a),因为A'横坐标为 -b/(2a),所以A横坐标为 b/(2a),B横坐标为 -3b/(2a).
因为A在抛物线上,所以Y=a×b²/(4a²）+ b×b/(2a)+C=b²/(4a）+b²/(2a）+C,又Y=t+C,t=1/a,所以b²/(4a）+b²/(2a）=1/a,b²=4/3,因为对称轴:x = -b/(2a),a > 0,显然 b < 0,所以b = -（2√3）/3) ,
所以A'B= -b/a,由y=ax²+bx+C=c,得D横坐标为 -b/a,所以CD=-b/a,所以四边形a'CDB为平行四边形,其面积=（-b/a ）×t=-b/a².
所以四边形A'CDB的面积S =-b/a²=2√3/（3a²）.