题目

对于x∈R，不等式|2-x|+|1+x|≥a²-2a恒成立，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-11-20

答案

∵对于x∈R，不等式|2-x|+|1+x|≥a²-2a恒成立，∴|2-x|+|1+x|的最小值大于或等于a²-2a．
由于|2-x|+|1+x|表示数轴上的x对应点到2和-1对应点的距离之和，它的最小值为3，
故有 3≥a²-2a，即 a²-2a-3≤0，解得-1≤a≤3，
故实数a的取值范围是

−1，3

，
故答案为

−1，3

．

由题意可得|2-x|+|1+x|的最小值大于或等于a²-2a，而由绝对值的意义可得|2-x|+|1+x|的最小值为3，可得
3≥a²-2a，由此求得实数a的取值范围．

本题考点：绝对值不等式的解法．

考点点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式、分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．