题目

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2^x．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f³（x）恒成立，则实数t的取值范围是______．

提问时间：2020-11-20

答案

当x＞0时，f（x）=2^x．
∵函数是奇函数
∴当x＜0时，f（x）=-2^-x
∴f（x）=

2x，x＞0 0，x＝0 −2−x，x＜0

，
∴f（x）在R上是单调递增函数，
且满足f³（x）=f（3x），
∵不不等式f（x+t）≥f³（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，
∴x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，
即：x≤

1

2

t在[t，t+1]恒成立，
∴t+1≤

1

2

t
解得：t≤-2，
故答案为：（-∞，-2]．

由当x＞0时，f（x）=2^x．函数是奇函数，可得当x=0时，f（x）=0，当x＜0时，f（x）=-2^-x，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足f³（x）=f（3x），再根据不等式f（x+t）≥f³（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，可得x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，即可得出答案．

本题考点：复合函数的单调性．

考点点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．