题目

已知A,B,C 三点不在一条直线上,且A(-2,0),B(2,0) |ad|=2 ae=1/2(ab+ad) "小写的是向量"
（1）求动点E的轨迹方程
（2）过点A做直线L交以A,B为焦点的椭圆C于M,N两点,线段MN的重点到y轴的距离为4/5,且直线L与点E的轨迹相切,求椭圆C的方程.

提问时间：2020-11-20

答案

设 C(m,n)、 D(x,y) AD=(x+2,y) AB=(4,0) AC=(m+2,n)
由题意可得：(m+2)^2+n^2=4 ① x+2=m/2 + 3 ② y=n ③
由②得m=2x-2 ④
将③④代入①得,4x^2+y^2=4 即x^2+(y^2)/4=1
设直线方程为y=k(x+2)⑤ 椭圆方程为(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1,(a＞b＞0,a^2+b^2=4)⑥
将⑤代入⑥,化简得 (b^2+a^2*k^2)x^2+(4a^2*k^2)x+4a^2*k^2-a^2*b^2=0
∵线段MN的中点到Y轴的距离为4/5 ∴ |(-2a^2*k^2)/(b^2+a^2*k^2)|=4/5
化简得 a^2*k^2=4b^2⑦
再⑤将代入4x^2+y^2=4,得4+k^2)x^2+(4k^2)x+4k^2-4=0
∵直线L与点D的轨迹相切 ∴Δ =64-48k^2=0 即k^2=4/3⑧
将⑧代入⑦,得a^2=3b^2 又a^2+b^2=4
由此二式可得 a^2=3 b^2=1
所以,所求方程为 (x^2)/3 + (y^2)=1