题目

试着写出数列{Xn}n=1到正无穷不以常数a为极限的数学定义,并以此考虑{(-1)^n}n=1到正无穷极限不存在

提问时间：2020-11-19

答案

数列x(n)不以常数a为极限；
对任意的常数a,数列x(n)不以a为极限的定义：
存在某个ε> 0,使得对任意的自然数 N ,总存在一个自然数 n ,满足 n > N ,
使得 |x(n)-a|>=ε； 这就是数列x(n)不以常数a为极限的定义.
考虑数列 b(n) = (-1)^n ,其中 b(1)=-1 ,b(2)=1 ,b(3)=-1 ,b(4)=1 ,.
显然b(n)极限不存在,当然也不以任何常数为极限；用定义证明如下
对任给一个常数a,① 如果 a≠1 ,那么就取ε=|a-1|/2>0,对任意的自然数 N ,
都能找到一个偶数 n（事实上所有大于N的偶数都可以）,满足n>N ,有
|x(n)-a|=|1-a|=2ε>ε,这样就按定义证明了b(n)不以a为极限 .
② 如果 a≠-1 ,类似于①中的方法,取ε=|a-(-1)|/2=|a+1|/2>0,对任意的自然数 N ,
都能找到一个奇数 n（事实上所有大于N的奇数都可以）,满足n>N ,有
|x(n)-a|=|-1-a|=|a+1|=2ε>ε,这样也按定义证明了b(n)不以a为极限 .
综上所述,对任意常数a,数列b(n) = (-1)^n 不以a为极限.由于是摆动数列,(-1)^n 极限不存在.