题目

当a,b,c,d满足什么条件时,函数f(x)=(ax+b)/(cx+d) (c≠0,x≠-(d/c))的反函数是他本身

提问时间：2020-11-19

答案

从两个方面讲：
一、反过来,如果,ad=bc,那么a/c=b/d,(ax+b)/(cx+d)为常数
常数函数没有反函数,所以,
f(x)=(ax+b)/(cx+d)存在反函数的必要条件是ad≠bc
二、在ad≠bc条件下,
设y=(ax+b)/(cx+d),则x=(b-dy)/(cy-a)
其反函数为 y=(b-dx)/(cx-a)
要使f(x)反函数是本身,
须使(ax+b)/(cx+d)=(b-dx)/(cx-a)在定义域内恒成立
即 (a^2-d^2)dx^2-c(a+d)x+b(a+d)=0在定义域内恒成立
这样,(a+d)(a-d)=0,c(a+d)=0,b(a+d)=0(*)
当a+d=0时,(*)中三个等式都成立.
所以,f(x)=(ax+b)/(cx+d)的反函数是它本身的条件是：
ad≠bc且a+d=0