等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，公差为2，在等比数列{bn}中，当n≥2时，b2+b3+…+bn=2n+p（p为常数），（1）求an和Sn；（2）求b1，p和bn；（3）若Tn=Sn - 超级试练试题库

题目

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，公差为2，在等比数列{b_n}中，当n≥2时，b₂+b₃+…+b_n=2ⁿ+p（p为常数），
（1）求a_n和S_n；
（2）求b₁，p和b_n；
（3）若T_n=

提问时间：2020-11-19

答案

（1）因为等差数列数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，d=2
a_n=2n，（n∈N*）；S_n=n²+n；…（2分）
（2）由于当n≥2时，b₂+b₃+…+b_n=2ⁿ+p（p为常数），
b₂+b₃+…+b_n+b_n+1=2ⁿ⁺¹+p
两式相减得：b_n+1=2ⁿ，…（4分）
因为数列{b_n}为等比数列，所以b₁=1，b₂=2，
由条件可得p=-2，b_n=2^n-1，（n∈N*）；…（7分）
（3）因为T_n=

n2+n

2n−1

，若T_n=

对于一切正整数n，均有T_n≤C恒成立，
则需C大于或等于T_n的最大值，…（8分）

Tn+1

(n+1)(n+2)

2n−1

n(n+1)

n+2

，…（10分）
令

Tn+1

≥1得：n≤2，
即有：T₁=2≤T₂=3=T₃=3≥T₄=