题目

1.已知a,b,c∈R.若bc/a²＞1,b/a+c/a≥-2,试判断a,b,c的符号并说明理由.
2.设函数f（x）=x²+2bx+c（c＜b＜1）,f（1）=0,且方程f（x）+1=0有实根
⑴证明：-3＜c≤-1,b≥0；
⑵若m是方程f（x）+1=0的一个实根,试判断f（m-4）的正负并加以证明.
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提问时间：2020-11-19

答案

1.因为bc/a²＞1
所以bc＞a²≥0①
所以b和c同正或者同负
①b c同正
则b+c≥2√bc
又因为b/a+c/a≥-2
b/a+c/a=（b+c)/a
若a＞0 则（b+c）/a≥2√bc/a②
由①bc＞a² 所以√bc＞a
所以（b+c）/a≥2√bc/a=2＞-2
成立
若a＜0 则（b+c）/a≤2√bc/a≥-2a/a=-2
即（b+c）/a≤-2 与题设b/a+c/a≥-2矛盾
所以不成立
所以当b c均为正数 a大于0
所以a＞0 b＞0 c＞0
② 若b 和 c都为负数
则b+c≤-2√bc
若a＞0
则（b +c）/a≤-2√bc/a≤-2
与题设b/a+c/a≥-2矛盾矛盾 所以不成立
若a＜0
则（b +c）/a≥-2√bc/a≥-2
成立
所以当b c均为负数 a＜0
所以a＜0 b＜0 c＜0
所以综上所述
a b c符号为 + + +或者- - -
2.1)证明：由f(1)=1²+2b+c=1+2b+c=0,解得b=-(1+c)/2
再由c＜b＜1,得c＜-(1+c)/2＜1,解得-3＜c＜-1/3
又方程f(x)+1=0有实根,即x²+2bx+c+1=0有实根,
故Δ=4b²-4(c+1)≥0,即(c+1)²-4(c+1)≥0
解得c≥3或c≤-1,故-3＜c≤-1,
再由b=-(1+c)/2,得0≤b＜1
(2)f(m-4)＞0
证明:由已知得f(m)=-1＜0,
∴c＜m＜1,即c-4＜m-4＜-3＜c
即x=m-4在开口向上的抛物线f(x)与x轴左交点的左边,
故f(m-4)＞0