题目

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B．∠MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，连接AF．
（1）设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）若△AEF为等腰三角形，求出BE的长．

提问时间：2020-11-19

答案

（1）∵AB=DC=5，∴∠B=∠C
而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
∴

AB

BE

＝

EC

FC

即

5

x

＝

8−x

5−y

∴y＝

1

5

(x2−8x+25)（0≤x≤8）；
（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos∠B＝

3

5

，
①若AE=AF，则有cos∠AEF＝

EG

AE

=cos∠B＝

3

5

，即

EF

AE

＝

6

5

∵△ABE∽△ECF，∴

EC

AB

=

6

5

，即

8−x

5

=

6

5

，解得x=2，
②若AF=FE，同理有

5

8−x

=

6

5

，解得x=

23

6

，
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；
∵0＜2，3，

23

6

＜8，
∴BE的长为2或3或

23

6

．