题目

实变函数 依测度收敛
设｛fn｝在区间[a,b]依测度收敛于f g（x）在R上一直连续
证明｛g（fn）｝在[a,b]依测度收敛于｛g（f）｝

提问时间：2020-11-18

答案

因为｛fn｝在区间[a,b]依测度收敛于f ,｛fn｝的子列｛fni}依测度收敛于f.由黎斯定理,存在子列｛fni},使得i趋近无穷大时lim｛fni}=f,几乎处处于[a,b].
由g（x）在R上一致连续,得i趋近无穷大时lim g(fni)=g(f),几乎处处于[a,b].
在区间[a,b]上,由可测集上的连续函数是可测函数,得知g（fni）是可测函数且g（fni）是有限的.
再由Lebesgue定理：直接得到g(fni)依测度收敛于g(f)