题目
已知函数f(x)=1/2x^2+3/2x,数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)[n属于N*]均在函数y=f(x)
1.求数列an的通项公式an
2.令bn=an/2^(n-1),求数列bn的前n项和Tn
3.令cn=an/a(n+1)+a(n+1)/an,证明:2n
1.求数列an的通项公式an
2.令bn=an/2^(n-1),求数列bn的前n项和Tn
3.令cn=an/a(n+1)+a(n+1)/an,证明:2n
提问时间:2020-11-18
答案
1.
Sn=(1/2)n^2+(3/2)n
n>=2时,
An=Sn-S(n-1)
=(1/2)n^2+(3/2)n-(1/2)(n-1)^2-(3/2)(n-1)
=n+1
n=1时,A1=S1=1/2+3/2=2也满足上式
2.
Bn=An/2^(n-1)=(n+1)/2^(n-1)
Tn=B1+B2+B3+……+Bn
=2/2^0+3/2^1+4/2^2+……+(n+1)/2^(n-1)
两边同乘2
2Tn=4+3/2^0+4/2^1+……+(n+1)/2^(n-2)
两式错位相减
2Tn-Tn=4+[(3/1-2/1)+(4/2-3/2)+……+(n+1)/2^(n-2)-n/2^(n-2)]-(n+1)/2^(n-1)
=4+(1+1/2+……+1/2^(n-2)-(n+1)/2^(n-1)
=4+(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)-(n+1)/2^(n-1)
=6-(n+3)/2^(n-1)
3.
Cn=An/A(n+1)+A(n+1)/An=(n+1)/(n+2)+(n+2)/(n+1)
Cn-2=(n+1)/(n+2)+(n+2)/(n+1)-2
=(n+2-1)/(n+2)+(n+1+1)/(n+1)-2
=1-1/(n+2)+1+1/(n+1)-2
=1/(n+1)-1/(n+2)
C1+C2+……+Cn-2n
=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+1/(n+1)-1/(n+2)
=1/2-1/(n+2)2
C1+C2+……+Cn>2n
综上所述
2n
Sn=(1/2)n^2+(3/2)n
n>=2时,
An=Sn-S(n-1)
=(1/2)n^2+(3/2)n-(1/2)(n-1)^2-(3/2)(n-1)
=n+1
n=1时,A1=S1=1/2+3/2=2也满足上式
2.
Bn=An/2^(n-1)=(n+1)/2^(n-1)
Tn=B1+B2+B3+……+Bn
=2/2^0+3/2^1+4/2^2+……+(n+1)/2^(n-1)
两边同乘2
2Tn=4+3/2^0+4/2^1+……+(n+1)/2^(n-2)
两式错位相减
2Tn-Tn=4+[(3/1-2/1)+(4/2-3/2)+……+(n+1)/2^(n-2)-n/2^(n-2)]-(n+1)/2^(n-1)
=4+(1+1/2+……+1/2^(n-2)-(n+1)/2^(n-1)
=4+(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)-(n+1)/2^(n-1)
=6-(n+3)/2^(n-1)
3.
Cn=An/A(n+1)+A(n+1)/An=(n+1)/(n+2)+(n+2)/(n+1)
Cn-2=(n+1)/(n+2)+(n+2)/(n+1)-2
=(n+2-1)/(n+2)+(n+1+1)/(n+1)-2
=1-1/(n+2)+1+1/(n+1)-2
=1/(n+1)-1/(n+2)
C1+C2+……+Cn-2n
=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+1/(n+1)-1/(n+2)
=1/2-1/(n+2)2
C1+C2+……+Cn>2n
综上所述
2n
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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